в диофантовой геометрии - некоторая численная функция на множестве решений диофантова уравнения. В простейшем случае целочисленного решения диофантова уравнения высота есть функция решения, равная
В таком виде она встречается уже в методе спуска Ферма. Пусть имеется проективное алгебраич. многообразие X, определенное над глобальным полем К. Высота представляет собой класс действительнозначных функций
, определенных на множестве
рациональных точек Р, и зависящий от морфизма
многообразия Xв проективное пространство Р n. Каждая функция из этого класса тоже наз. высотой. Различие между функциями из этого класса с точки зрения оценки рациональных точек несущественно; для любых двух функций
существуют такие константы
Такие функции наз. эквивалентными; эта эквивалентность (здесь) обозначается
.
Основные свойства В. Функция функториальна по Р, т. е. для любого морфизма
и морфизма
Если морфизмы определяются обратимыми пучками
то
Множество точек
, имеющих ограниченную В., конечно в следующем смысле: если основное поле Кесть поле алгебраич. чисел, то указанное множество конечно; если же К - поле алгебраич. функций с полем констант k, то элементы
зависят от конечного числа параметров из поля kи, в частности, Кконечно, если поле kконечно. Пусть
пробегает множество всех нормирований поля К.
Тогда В. точки проективного пространства
с координатами из Кможет быть определена как
Корректность определения следует из формулы произведения Пусть X - произвольное проективное многообразие над Ки L - замкнутое вложение многообразия Xв проективное пространство, В.
можно получить, перенося функцию (*) с помощью этого вложения на множество Х(К). Различные проективные вложения, соответствующие одному и тому же пучку
, определяют на X(К).эквивалентные функции. Распространение по линейности дает требуемую функцию
. Иногда вместо функции
используют ее логарифм - так наз. логарифмич. высоту.
Приведенные выше оценки являются в нек-рых случаях следствием точных равенств (см. [3], [4], [5]). Существует вариант функции В.- высота Тейта - Нерона, к-рая определяется на абелевых многообразиях и ведет себя функториальным образом относительно мор-физмов абелевых многообразий, сохраняющих нулевую точку. Локальный аспект развит в [6]. Построенные там локальные компоненты В. играют в арифметике роль индексов пересечения.
Лит.:[1] Вейль А., Теория чисел и алгебраическая геометрия, "Математика", 1958, т. 2, .№ 4; [2] Lang S., Diophantine geometry, N. Y.-L., 1962; [3] Манин Ю. И., Теорема Морделла - Вейля, в кн.: Мамфорд Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971, с. 279-95; [4] Манин Ю. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, с. 1363-90; [5] Mumford D., "Amer. J. Math.", 1965, v. 87, p. 1007-16; [6] Neron A., "Ann. Math.", 1965, v. 82, p. 249-331. A. Н. Паршин.