- 1) Отображение векторного пространства Xнад полем действительных или комплексных чисел в совокупность действительных чисел, подчиненное условиям:

причем только при x = 0;

для каждого скаляра ;

для всех (аксиома треугольника). При этом число и наз. нормой элемента х.

Векторное пространство Xс отмеченной Н. наз. нормированным пространством. Н. индуцирует на X метрику но формуле а следовательно и топологию, совместимую с этой метрикой. Тем самым нормированное пространство наделяется естественной структурой топологического векторного пространства. Нормированное пространство, полное относительно указанной метрики, наз. банаховым пространством. Каждое нормированное пространство обладает банаховым пополнением.

Отделимое (хаусдорфово) топологическое векторное пространство наз. нормируемым, если его топология совместима с нек-рой Н. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля (теорема Колмогорова, 1934). Н. в нормированном векторном пространстве Xтогда и только тогда порождается скалярным произведением (т. е. пространство Xизометрически изоморфно предгильбертову пространству), когда для всех

Две Н. и заданные на одном и том же векторном пространстве X, наз. эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию. Это равносильно существованию таких констант и , что для всех

Если пространство Xполно относительно обеих Н., то их эквивалентность является следствием согласованности. При этом согласованность означает, что выполнение предельных соотношений

влечет за собой равенство .

Не на каждом топологическом векторном пространстве, даже в предположении локальной выпуклости, существует непрерывная Н. Напр., непрерывной Н. нет на бесконечном произведении прямых с топологией покоординатной сходимости. Отсутствие непрерывной Н. может служить очевидным препятствием к непрерывному погружению одних топологич. пространств в другие.

Если Y- замкнутое подпространство в нормированном пространстве X, то факторпространство классов смежности по Y наделяется Н.

относительно к-рой оно становится нормированным пространством. Н. образа элемента хотносительно естественной проекции наз. факторнормой элемента x по подпространству Y.

Совокупность непрерывных линейных функционалов на нормированном пространстве Xобразует банахово пространство относительно Н.

Н. всех функционалов достигаются в подходящих точках единичного шара исходного пространства тогда и только тогда, когда пространство рефлексивно.

Совокупность линейных непрерывных (ограниченных) операторов Аиз нормированного пространства Xв нормированное пространство Y превращается в нормированное пространство путем введения операторной нормы:

Относительно этой Н. пространство полно, если полно У. При полном пространство с умножением (суперпозицией) операторов становится банаховой алгеброй, поскольку операторная Н. удовлетворяет условию