круг задач теоретич. астрофизики, в к-рых широко используются математич. методы исследования. Основной предмет теоретич. астрофизики составляет истолкование результатов наблюдений с целью изучения строения объектов, наблюдаемых во Вселенной, а также исследования происходящих в них физич. процессов. Наряду с этим в А. м. з. развиваются нек-рые общие математич. вопросы, имеющие, кроме астрофизики, существенное значение для ряда других разделов физики и для математики. Наиболее яркий пример влияния А. м. з. на развитие математики представляет введенный впервые в А. м. 3. так наз. инвариантности принцип[1], к-рый получил применение при решении обширного класса задач математич. физики, а также нек-рых задач вероятностей теории.

Одной из главных проблем астрофизики является изучение строения и эволюции звезд, поскольку основная масса вещества во Вселенной сосредоточена в звездах. Обычно отдельно рассматривают внутреннее строение звезд и строение звездш. х атмосфер.

Задачи теории внутреннего строения формулируются в виде дифференциальных уравнений, вытекающих из условий механич. и энергетич. равновесия звезды [2]. Условие меканич. равновесия звезды выражает равенство силы тяготения, направленной внутрь звезды, и силы газового и светового давления, направленной наружу. Условие энергетич. равновесия отражает равенство количества энергии, вырабатываемого в нек-ром объеме звезды, и количества энергии, к-рое из этого объема выходят. Кроме условий равновесия, считаются известными уравнения состояния вещества звезды, коэффициент поглощения излучения и закон выделения энергии в результате термоядерных реакций в зависимости от плотности вещества и температуры при заданном химич. составе. Вследствие сложности уравнений для их решения обычно применяются численные методы. Иногда в качестве граничных условий используют результаты теории звездных атмосфер, что приводит к более надежным выводам. Указанные уравнения равновесия звезды в ряде частных случаев сводятся к Эмдена уравнению

с условиями и при . Для значений решения уравнения (1) выражаются через элементарные функции. Уравнение (1) применимо, напр., в тех областях звезды, где перенос энергии осуществляется главным образом конвективными потоками, а перенос лучистой энергии сравнительно мал. Трудность развития теории внутреннего строения звезд состоит еще и в том, что звездные недра ненаблюдаемы. Обычно сопоставляют с данными наблюдений только вычисленные интегральные характеристики звезды такие, как масса, радиус и полное количество энергии, излучаемое звездой в единицу времени. Использование статистич. материала, относящегося к указанным характеристикам, позволяет строить гипотезы о возможных путях эволюции звезд.

Теория звездных атмосфер основывается на исследовании процессов переноса излучения (см. Переноса излучения теория). Энергия, вырабатываемая во внутренних областях звезды, после сложного процесса переноса через атмосферу, выходит наружу. Решение уравнения переноса осуществляется здесь при условии лучистого равновесия, выражающем тот факт, что каждый элемент объема атмосферы излучает столько энергии, сколько поглощает. Кроме того, обычно делается предположение о существовании локального термодинамич. равновесия. Результаты решения уравнения переноса при указанных условиях позволяют теоретически построить спектр звезды, а сопоставление с результатами наблюдений дает возможность судить о строении звездной атмосферы и о происходящих в ней процессах. В частности, на исследовании линейчатых спектров звезды основаны способы определения химич. состава звездных атмосфер.

Процессы переноса излучения происходят также в туманностях и межзвездной среде. Часто процесс переноса состоит в многократном рассеянии света при его прохождении через вещество. Солнечный свет после рассеяний в планетной атмосфере несет с собой информацию о ее строении и физич. свойствах. В атмосферах планет и в пылевых туманностях происходит анизотропное рассеяние света.

Теория переноса излучения является одним из важнейших разделов теоретич. астрофизики. Эта теория получила большое развитие в А. м. з. (см. [3], [4]) в связи с решением указанных задач астрофизики. Ее методы находят также различные применения в других разделах физики, например в геофизике (см. Геофизики математические задачи), в теории переноса нейтронов и при расчетах свечения плазмы. Наиболее часто встречается случай, когда излучение проходит через плоский слой вещества. Звездные и планетные атмосферы представляют пример такого рода, поскольку их геометрич. толщина в большинстве случаев мала по сравнению с радиусом. В этом случае для изотропного рассеяния уравнение переноса излучения приводится к интегральному уравнению

где определяет распределение источников излучения в слое, а - искомое поле излучения. Ядро K(x) интегрального уравнения и параметр А, включают закон взаимодействия вещества с излучением, а х ₀ есть толщина среды, выраженная в единицах длины свободного пробега излучения. Исследование интегральных уравнений типа (2) составляет одну из основных математич. задач теории переноса излучения. В А. м. з. развит общий метод получения точных аналитич. решений таких уравнений [4]. В частном случае, когда а также - первая интегральная показательная функция, уравнение (2) наз. уравнением Мплна. Его решение (см. Милна проблема).при нек-рых дополнительных условиях дает распределение температуры в атмосфере звезды. В более сложных задачах (анизотропное рассеяние, рассеяние света с учетом поляризации, рассеяние света в среде произвольной формы и т. п.) вместо искомой функции возникают функции, зависящие, кроме координат, также от направления и от других величин, характеризующих поле излучения в данной точке. Для определения этих функций используются соответствующие системы интегральных уравнений, обобщающие уравнение (2).

Указанные методы служат для определения полного решения задачи, что позволяет найти как поле излучения внутри среды, так и характеристики выходящего из среды излучения. Для применений теории часто необходимо знать лишь выходящее излучение. Было показано, что определение характеристик выходящего из среды излучения можно сделать непосредственно, без предварительного нахождения полного решения. Это часто значительно упрощает задачу и осуществляется либо с использованием интегрального уравнения (2), либо путем применения принципа инвариантности. Другой путь заключается в представлении заданного слоя как суммы двух слоев и в установлении связей между характеристиками излучения, выходящего из всей среды, и характеристиками излучения на границе двух слоев. Рассмотренные возможности используются также в теории переноса нейтронов и составляют альбедный метод.

Наряду с теорией излучения видное место в астрофизике занимает применение методов газодинамики [5] и электродинамики [6] к исследованию звезд и межзвездной среды. Эти методы необходимы для изучения движении газовых масс в звездах и туманностях. Гидродинамич. эффекты (см. Гидродинамики математические задачи).в атмосферах Солнца и других звезд, расширение газовых облаков и их столкновения друг с другом и с более разреженной межзвездной средой, возникающие при этом ударные волны и турбулентные движения в межзвездной среде - некоторые из рассматриваемых здесь проблем.

Одной из самых существенных особенностей межзвездной газодинамики является необходимость учета взаимодействия ионизированного газа с магнитимый полями. Это взаимодействие оказывает влияние как на движение газа, так и на изменение конфигурации и плотности энергии магнитного поля.

При движении газа его частицы остаются все время как бы "приклеенными") к магнитной силовой линии, двигаясь вдоль нее либо увлекая ее за собой при движении поперек поля. Говорят также, что силовые линии "вморожены" в вещество (см. Вмороженности интеграл). Уравнения движения межзвездной магнитной газодинамики включают: уравнение непрерывности (закон сохранения массы); уравнение индукции магнитного поля, выражающее принции вмороженности; уравнение притока энергии межзвездного излучения (закон сохранения энергии); уравнение, выражающее закон сохранения импульса. При составлении системы используются уравнения электродинамики (Максвелла уравнения).и гидродинамики. Решение этой системы весьма осложняется нелинейностью уравнений. Обычно исследуют упрощенные варианты, напр, одномерные и автомодельные движения (см. Магнитной гидродинамики математические задачи).

Большое значение для развития астрофизики имеют результаты, получаемые радиоастрономич. методами. Поскольку излучение радиоволн происходит обычно в ионизированном газе (плазме), то возникают задачи об определении свойств плазмы для условий, осуществляющихся в звездах и межзвездной среде [7]. Наиболее полно поведение плазмы описывается кинетическими уравнениями. Отличие кинетич. уравнения для плазмы от кинетического Больцмана уравнения для обычного газа состоит в том, что кулоновское взаимодействие заряженных частиц плазмы распространяется на сравнительно большие расстояния, тогда как в газе из нейтральных атомов и молекул силы взаимодействия существенны лишь при непосредственных столкновениях частиц.

Изучение распределения вещества в Галактике затруднено поглощением света, производимым межзвездными пылевыми частицами. Этот эффект проявляется главным образом в направлениях, близких к Млечному Пути, поскольку слой межзвездной пыли сконцентрирован вблизи плоскости Галактики. Уменьшение числа наблюдаемых галактик при приближении направления наблюдения к плоскости Галактики вызвано тем же эффектом поглощения света. Однако поглощающее вещество распределено не равномерно, а в основном в виде отдельных облаков различной величины, случайным образом распределенных в пространстве. Поэтому возникает задача о статистич. изучении видимого распределения яркости Млечного Пути и видимого распределения галактик. Указанные вопросы подробно исследованы [1] в теории флуктуации яркости Млечного Пути. При выводе уравнений был использован принцип инвариантности. Математич. вопросы теории флуктуации яркости близки к теории нек-рых типов случайных процессов. В простейшем варианте считается, что вся экваториальная плоскость Галактики с равномерной плотностью заполнена до бесконечности звездами и поглощающими свет облаками. Если принять долю пропускаемого света qодинаковой для всех облаков и ввести g(u)du - вероятность того, что безразмерная яркость изаключена в пределах от идо u+du, то для определения функции g(u) получается уравнение

Уравнения аналогичного типа возникают и при рассмотрении более общих моделей. Для анализа результатов наблюдений часто используют моменты исследуемых величин; поэтому решение исходных сложных уравнений не всегда необходимо. Получаемые из исходных уравнений соотношения для моментов достаточно просто и быстро приводят к цели.