Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Абелева Функция

  - обобщение эллиптической функции одного комплексного переменного на случай многих комплексных переменных. Мероморфная в комплексном пространстве функция f(z) от pкомплексных переменных наз. А. ф., если существуют 2р векторов-строк из С ^p

  

  линейно независимых над полем действительных чисел и таких, что для всех 2р. Векторы наз. периодами, или системами периодов, А. ф. Все периоды А. ф. f(z) образуют абелеву группу Г по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов). Базис этой группы наз. базисом периодов А. ф., а также системой основных (или примитивных) периодов. А. ф. наз. вырожденной, если существует такое линейное преобразование переменных к-рое переводит в функцию

  …
  Далее

  - обобщение эллиптической функции одного комплексного переменного на случай многих комплексных переменных. Мероморфная в комплексном пространстве функция f(z) от pкомплексных переменных наз. А. ф., если существуют 2р векторов-строк из С ^p

  

  линейно независимых над полем действительных чисел и таких, что для всех 2р. Векторы наз. периодами, или системами периодов, А. ф. Все периоды А. ф. f(z) образуют абелеву группу Г по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов). Базис этой группы наз. базисом периодов А. ф., а также системой основных (или примитивных) периодов. А. ф. наз. вырожденной, если существует такое линейное преобразование переменных к-рое переводит в функцию меньшего числа переменных; в противном случае наз. невырожденной А. ф. Вырожденные А. ф. характеризуются также тем, что они имеют бесконечно малые периоды, т. е. для любого числа можно найти период для к-рого

  

  Если то невырожденные А. ф. суть эллиптич. функции одного комплексного переменного. Каждая А. ф. с группой периодов Г естественным образом отождествляется с мероморфной функцией на комплексном торе т. е. на факторпространстве (см. также Квазиабелева функция).

  Исследование А. ф. началось в 19 в. в связи с проблемой обращения абелевых интеграловI рода (см. Якоби проблема обращения,[1], [2]). Возникающие при решении этой проблемы А. ф. наз. специальными А. ф., а иногда в старых работах под А. ф. только они и подразумевались. Пусть - линейно независимые нормальные абелевы интегралы I рода, построенные на римановой поверхности F:

  

  - заданная система сумм, в к-рой нижние пределы интегрирования считаются фиксированными на поверхности F. Тогда специальные А. ф. можно определить как все рациональные функции координат рверхних пределов рассматриваемых в свою очередь как функции от рточек поверхности F. В символической записи, ведущей свое начало от К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), любую специальную А. ф. Аl(z) можно изобразить в виде

  

  Соответствующие специальным А. ф. комплексные торы являются Якоби многообразиями алгебраич. кривых.

  Матрица W, столбцы к-рой образуют базис периодов А. ф. f(z), имеет размер и наз. матрицей периодов А. ф. Для того чтобы данная матрица Wразмера ~ была матрицей периодов нек-рой невырожденной А. ф. необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла определенным условиям (условия Римана- Фробениуса). Она должна являться римановой матрицей, т. е. для Wдолжна существовать такая антисимметрическая неособенная целочисленная квадратная матрица Мпорядка 2р, что: 1) - транспонированная матрица W;2) матрица iWMW*^T определяет положительно определенную эрмитову форму (см. [3]). Если выразить условия 1) и 2) в виде соответственно уравнений и неравенств, то получится система р( р -1)/2 римановых уравнений и р( р-1)/2 р

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть