колец и алгебр - понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые полупростыми) получили в классич. теории достаточно полное описание: любая полупростая конечномерная ассоциативная алгебра является прямой суммой простых матричных алгебр над подходящими телами. Впоследствии было обнаружено, что наибольшие нильпотентные идеалы существуют в любых ассоциативных кольцах и алгебрах с условием минимальности для левых (или правых) идеалов, т. е. в любых артиновых кольцах и алгебрах, и описание артиновых полупростых колец и
…
Далее
колец и алгебр - понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые полупростыми) получили в классич. теории достаточно полное описание: любая полупростая конечномерная ассоциативная алгебра является прямой суммой простых матричных алгебр над подходящими телами. Впоследствии было обнаружено, что наибольшие нильпотентные идеалы существуют в любых ассоциативных кольцах и алгебрах с условием минимальности для левых (или правых) идеалов, т. е. в любых артиновых кольцах и алгебрах, и описание артиновых полупростых колец и алгебр совпадает с описанием конечномерных полупростых алгебр. В то же время оказалось, что Р., как наибольший нильпотентный либо разрешимый идеал, может быть определен и во многих классах конечномерных неассоциативных алгебр (альтернативных, йордановых, лиевых и др.). При этом, как и в ассоциативном случае, полупростые алгебры оказываются прямыми суммами простых алгебр нек-рого специального вида.
В связи с тем, что в бесконечномерном случае наибольшего нильпотентного идеала может и не существовать, появилось много различных обобщений классического Р.: радикал Бэра, радикал Джекобсона, радикал Левицкого, радикал Кёте и др. Наиболее часто используемый из них - Джекобсона радикал. Были введены также Р., в нек-ром смысле противоположные классическому. Так, напр., все классически полупростые кольца (т. е. прямые суммы полных матричных колец) радикальны в смысле регулярного радикала Неймана и наследственно идемпотентного радикала Блэра. Построение общей теории Р. было начато в работах С. Амицура [1] и А. Г. Куроша [2].
Общая теория радикалов. Всюду в дальнейшем говорится только об алгебрах (имеются в виду алгебры над произвольным фиксированным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей); кольца являются частным случаем таких алгебр. Под идеалом алгебры, если это не оговорено специально, понимается двусторонний идеал.
Пусть 
- нек-рый класс алгебр, замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных образов, т. е. содержащий вместе со всякой алгеброй любой ее идеал и любой ее гомоморфный образ. И пусть r - нек-рое абстрактное свойство, к-рым может обладать или не обладать алгебра из 
. Алгебра, обладающая свойством r, наз. r-а л г е б р о й. Идеал I алгебры A наз. ее r-и д е а л о м, если I является r-алгеброй. Алгебра наз. r-полупростой, если она не имеет ненулевых r-идеалов. Говорят, что r является радикальным свойством в классе 
или что в 
задан радикал (в смысле Куроша), если выполняются следующие условия:
(A) гомоморфный образ r-алгебры есть r-алгебра;
(Б) каждая алгебра Акласса 
обладает наибольшим r-идеалом, т. е. идеалом, содержащим любой r-идеал это
…
Перейти к полному виду статьи
Свернуть
В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.