семейства объектов категории - понятие, описывающее на языке морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть
- индексированное семейство объектов категории
. Объект
(вместе с морфизмами
) наз. произведением семейства объектов
, если для всякого семейства морфизмов
, существует такой единственный морфизм
, что
. Морфизмы pi наз. проекциями произведения; П. обозначается , или
, или A1X...X А n в случае
I={1, ..., п}. Морфизм а, входящий в определение П., иногда обозначается
или
. П. семейства
, определено однозначно с точностью до изоморфизма; оно ассоциативно и коммутативно. Понятие П. семейства объектов двойственно понятию копроизведения семейства объектов.
Произведением пустог
…
Далее
семейства объектов категории - понятие, описывающее на языке морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть
- индексированное семейство объектов категории
. Объект
(вместе с морфизмами
) наз. произведением семейства объектов
, если для всякого семейства морфизмов
, существует такой единственный морфизм
, что
. Морфизмы pi наз. проекциями произведения; П. обозначается , или
, или A1X...X А n в случае
I={1, ..., п}. Морфизм а, входящий в определение П., иногда обозначается
или
. П. семейства
, определено однозначно с точностью до изоморфизма; оно ассоциативно и коммутативно. Понятие П. семейства объектов двойственно понятию копроизведения семейства объектов.
Произведением пустого семейства объектов является правый нуль (терминальный объект) категории. В большинстве категорий структуризованных множеств (категории множеств, групп, топологич. пространств и т. д.) понятие П. семейства объектов совпадает с понятием декартова (прямого) П. этих объектов. Тем не менее такое совпадение но является обязательным: в категории периодических абелевых групп П. семейства групп
, есть иериодич. часть декартова П. этих групп, к-рая в общем случае отличается от самого декартова П.
В категориях с нулевыми морфизмами для любого произведения
существуют такие однозначно определенные морфизмы
, что sipi=lAi, sipi=0 при
. Если I конечно, то в абелевой категории p1s1+. . .+pnsn=1 и П. семейства объектов А 1, . .., А п совпадает с их копроизведением.
Лит.:[1] Цаленко М. III., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Цаленко.
Свернуть