- группа с конечным числом элементов. Это число наз. порядком группы. Исторически К. г. послужили исходным материалом для формирования многих понятий абстрактной теории групп.
Обычно говорят, что целью теории К. г. является описание, с точностью до изоморфизма, групп любого порядка. Это верно лишь отчасти. Наивный подход, основанный на полном переборе всех групп, заведомо обречен на неудачу. Напр., составление списка всех неизоморфных групп сравнительно небольшого порядка 1024 явилось бы трудным испытанием для лучших современных ЭВМ. Вообще, перебор конечных р-групп (групп порядка р, где р- простое число) - "дикая", или плохо поставленная задача. Напротив, существуют некие экстремальные кл
…
Далее
- группа с конечным числом элементов. Это число наз. порядком группы. Исторически К. г. послужили исходным материалом для формирования многих понятий абстрактной теории групп.
Обычно говорят, что целью теории К. г. является описание, с точностью до изоморфизма, групп любого порядка. Это верно лишь отчасти. Наивный подход, основанный на полном переборе всех групп, заведомо обречен на неудачу. Напр., составление списка всех неизоморфных групп сравнительно небольшого порядка 1024 явилось бы трудным испытанием для лучших современных ЭВМ. Вообще, перебор конечных р-групп (групп порядка р, где р- простое число) - "дикая", или плохо поставленная задача. Напротив, существуют некие экстремальные классы групп, играющие принципиальную роль в теории, для к-рых проблема классификации (перечисления с точностью до изоморфизма) либо решена, либо представляется вполне осмысленной.
Так, для абелевых К. г. имеется законченная теория (см. А белееа группа). Отдельные типы конечных р-групп (регулярные, свободные экспоненты р, максимального класса, заданные образующими и минимально возможным числом соотношений) также допускают качественное описание. Простые группы (т. е. группы с тривиальными нормальными подгруппами), являющиеся "строительными блоками" для всех К. г., несмотря на настойчивые попытки пока не удается описать. Существует гипотеза, что должно существовать не более двух (чаще всего - нуль) неизоморфных простых групп любого фиксированного порядка п. Это проверено для 
При конкретном анализе простых групп оказалось успешным применение ЭВМ, хотя, разумеется, их роль - чисто вспомогательная. Гораздо более значительными являются теоретические результаты о простых группах (см. Простая конечная группа). К настоящему времени (1978) известно несколько бесконечных серий простых групп ( Шевалле группы )и около трех десятков изолированных примеров ( спорадические простые группы). Описание конечных групп целочисленных матриц - еще один пример важной классификационной задачи, решенной лишь для небольших размеров матриц.
После периода становления в теории К. г., связанного с именами О. Коши (A. Cauchy), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), К. Гаусса (С. Gauss), H. Абеля (N. Abel )и, в первую очередь, Э. Галуа (Е. Galois), К. г. изучались почти исключительно как группы перестановок (см. неудачно укоренившийся термин подстановок группа), причем эта точка зрения остается плодотворной и в наши дни. Напр., если абстрактная К. г. Gдопускает реализацию (вложение в симметрия, группу Sm )в виде кратно-транзитивной группы перестановок, то в ряде случаев G определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Классификационные результаты, относящиеся к простым 2-транзитивным группам перестановок, составляют богатый раздел теории К. г., начало к-рому было заложено более ста лет тому назад К.
…
Перейти к полному виду статьи
Свернуть
В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.