Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Кокстера Группа

  - группа с отмеченной системой образующих допускающая определяющую систему соотношений

  

  где n_ii=1 (так что при любом i) и n_ij =n_ji при - целое число или (в последнем случае соотношения между r_i и r_j нет). При этих условиях n_ij совпадает с порядком элемента r_ir_j. Если n_ij= 2, то r_i и r_j коммутируют. Матрица (n_ij),наз. матрицей Кокстера данной К. г. Эта матрица (и, тем самым, группа) может быть задана посредством графа Кокстера - графа с вершинами а _i в к-ром вершины a_i и a_j соединены (n_ij-2)-кратным ребром, если (в частности, вообще не соединены, если n_ij= 2), и соединены жирным ребром, если В другой системе обозначений вершины a_i и a_j графа Кокстера соединяются простым ребром с отмет

  …
  Далее

  - группа с отмеченной системой образующих допускающая определяющую систему соотношений

  

  где n_ii=1 (так что при любом i) и n_ij =n_ji при - целое число или (в последнем случае соотношения между r_i и r_j нет). При этих условиях n_ij совпадает с порядком элемента r_ir_j. Если n_ij= 2, то r_i и r_j коммутируют. Матрица (n_ij),наз. матрицей Кокстера данной К. г. Эта матрица (и, тем самым, группа) может быть задана посредством графа Кокстера - графа с вершинами а _i в к-ром вершины a_i и a_j соединены (n_ij-2)-кратным ребром, если (в частности, вообще не соединены, если n_ij= 2), и соединены жирным ребром, если В другой системе обозначений вершины a_i и a_j графа Кокстера соединяются простым ребром с отметкой n_ij.

  Примеры. 1. Всякая группа, порождаемая двумя элементами порядка 2, есть К. г. с графом

  

  2. Симметрическая группа S_n является К. г. относительно образующих r_i=(i, i+1), i=1, ..., n-1; ее граф Кокстера имеет вид

  

  3. Группа PGL₂(Z) = GL₂(Z)/{1} является К. г. относительно образующих

  ее граф имеет вид

  Группа PGL₂(Z)содержит подгруппу PSL₂(Z)= SL₂(Z)/{1} индекса 2, изоморфную модулярной группе Клейна.

  Понятие К. г. возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей (см. Отражений группа, в дальнейшем - о. г.). Всякая о. г. является К. г., если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. К числу о. г. относятся Вейля группы (обычные и аффинные) полупростых групп Ли.

  В 1934 X. С. М. Кокстер [1] перечислил все о. г. в n-мерном евклидовом пространстве Е ⁿ и доказал, что все они являются, как говорят сейчас, К. г. В следующей работе [2] он доказал, что всякая конечная К. г. изоморфна некоторой о. г. в Е ⁿ, элементы которой имеют общую неподвижную точку, и тем самым получил классификацию конечных К. г. (см. табл. 1).

  Табл. 1. - Неразложимые конечные К. г.

  

  Число образующих равно нижнему индексу в обозначении группы.

  Среди бесконечных К. г. выделяются параболические и гиперболические К. г. По определению, К. г. является параболической (соответственно гиперболической), если она изоморфна о. г. в Е ^п (соответственно в пространстве Лобачевского Lⁿ), элементы к-рой не имеют общей инвариантной плоскости размерности <ге (в гиперболическом случае плоскостью следует считать и бесконечно удаленную точку).

  Табл. 2.-Неразложимые

  параболические К. г.

  

  Число образующих на единицу больше индекса в обозначении группы.

  Параболические К. г. перечислены X. С. М. Кокстером (см. табл. 2); они возникают в теории полупростых групп Ли как аффинные группы Вейля.

  К. г. с k образующими является двумерной гиперболической К. г. тогда и только тогда, когда, при подходящей нумерации образующих,

  

  и n_ij= 00 при |i-j|>1. Что касается n-мерных гиперболических К. г. при n>

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть