Раздел «Естествознание, Математика»

• Словарь естествознания
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Гармоническая Функция

  функция неск. переменных, непрерывная в нек-рой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному ур-нию Лапласа.

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Гармоническая Функция

  - действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения

  

  где - декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение распространяется и па комплексные функции в том смысле, что их действительные и мнимые части и являются Г. ф. Требования непрерывности и, даже, наличия производных не являются априори необходимыми. Напр., справедлива одна из теорем Привалова: непрерывная в Dфункция и(х).является Г. ф. тогда и только тогда, когда в любой точке для всех достаточно малых выполняется свойство среднего

  

  где - шар радиуса Rс центром - объем шара - элем

  …
  Далее

  - действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения

  

  где - декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение распространяется и па комплексные функции в том смысле, что их действительные и мнимые части и являются Г. ф. Требования непрерывности и, даже, наличия производных не являются априори необходимыми. Напр., справедлива одна из теорем Привалова: непрерывная в Dфункция и(х).является Г. ф. тогда и только тогда, когда в любой точке для всех достаточно малых выполняется свойство среднего

  

  где - шар радиуса Rс центром - объем шара - элемент объема в .

  В случае неограниченной области D с компактной границей Г. ф. может быть доопределена в бесконечно удаленной точке , т. е. может быть доопределена в областях компактифицированного по Александрову пространства . Общий принцип такого доопределения состоит в том, чтобы при простейших преобразованиях, сохраняющих гармоничность (в случае инверсия, в случае - Кельвина преобразование).и переводящих конечную точку Г. <ф. в="" окрестности=""> переходила в Г. ф. в окрестности . Исходя из этого, считают Г. ф. и(х).регулярной в бесконечности при , если

  

  Таким образом, в случае регулярной в бесконечности Г. <ф.> при всегда . При должно выполняться условие

  

  из к-рого вытекает существование конечного предела

  

  Под Г. ф. в неограниченных областях обычно понимаются регулярные в бесконечности Г. ф.

  В теории Г. ф. важную роль играют главные фундаментальные решения уравнения Лапласа

  

  где - площадь единичной сферы пространства При это - Г. ф. С помощью фундаментальных решений записывается основная формула теории Г. ф., выражающая значения Г. ф. и(х).внутри области Dчерез ее значения и(у).на границе и через значения ее производной по направлению внешней нормали к S в точке у:

  

  Эта формула Грина справедлива, напр., при условии, что функция и(х).и ее частные производные 1-го порядка непрерывны в замкнутой области т. е. граница Sк-рой есть кусочно гладкая замкнутая поверхность или кривая. Она дает представление произвольной Г. ф. и(х).в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя (см. Потенциала теория). Плотности этих потенциалов, т. е. соответственно граничные значения и , не могут быть заданы произвольно. Между ними имеется интегральная зависимость, выражаемая тем, что левая часть последней формулы - интеграл Грина- должна обращаться в нуль для всех точек х, лежащих вне замкнутой области Основная формула теории Г. ф. есть непосредственный аналог основной формулы теории аналитич. функций - интегральной формулы Коши (см. Коши интеграл). Эта формула справедлива также при замене в ней главного фундаментального решения h_n любым другим фундаментальным решен

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть