1) У.- тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

G - область единственности, в окрестности особой точки х ₀. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х ₀ такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт а положительные полутраектории - асимптотическими (не выходя из U, примыкают к х ₀,причем, будучи дополнены точкой х ₀, касаются в ней определенных направлений), или наоборот. У. наз. при этом и сама точка х ₀. У. либо асимптотически устойчив по Ляпунову, либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при Индекс Пуанкаре для У. равен 1. Для системы (*) класса с ненулевой матрицей А=f' (х ₀ )точка покоя х ₀ является У., когда собственные значения матрицы Адействительны и удовлетворяют условиям но может быть У. и в тех случаях, когда В случае точка х ₀ будет У., если при несоблюдении этого условия она может оказаться фокусoм. В любом из перечисленных выше случаев траектории системы, примыкающие к У. х ₀, касаются в этой точке направлений, определяемых собственными векторами матрицы А. Если то существует четыре таких направления (если различать диаметрально противоположные); при этом все траектории системы касаются в точке х ₀ направлений, соответствующих собственному значению за исключением двух траекторий, к-рые касаются в х ₀ направлений, соответствующих собственному значению (рис. 1). Это - обыкновенный У. Если то собственными для матрицы Ав точке х ₀ будут либо лишь два противоположных направления (в этом случае У, наз. вырожденным, рис. 2), либо - все направления. В последнем случае при условии каждого направления касается в точке х ₀ единственная траектория системы. Такой У. наз. дикритическим (рис. 3).

Если система (*) линейна (f(x) = A( х-x₀), A- постоянная матрица), то для нее точка х ₀ является У. лишь в тех случаях, когда собственные значения матрицы Адействительны и Любой луч x=x₀+ps( р - собственный вектор матрицы А, - параметр) является для нее траекторией. Обыкновенный, вырожденный и дикритический У. для линейной системы изображены соответственно на рис. 4, 5, 6. В случае обыкновенного У. все криволинейные траектории являются аффинными образами парабол

Термин лУ.
Свернуть